偏序

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

偏序者，柣序也。大小，長短，前後，皆偏序也。

定義

偏序者，關係也，且曰「不大於」，必以下是從。

凡一界之内，小於無物者，曰極大；大於無物者，曰極小。

物皆小於其者，曰最大；物皆大於其者，曰最小。最大必極大，最小必極小，反之則不然。

取子集，大於此集之所有，曰上界；小於此集之所有，曰下界。

若上界有最小者，曰最小上界；若下界有最大者，曰最大下界。

完備者，凡子集有上界者必有最小上界也，同乎凡子集有下界者必有最大下界耳。

格者，凡二物必有最小上界及最大下界也。

全序者，凡二物，必有前者小於後，或後者小於前。全序必格也。

良序者，凡子集必有最小物也。良序必全序也。良序必完備也。噫，良序集果真井然有序耳，故得此名。

良序公理曰：「集皆可良序也。」此與選擇公理等價耳。

以甲為自然數集，乙為甲去一。以「除盡」為偏序，故有三不少於六，五不少於百。然三與百無可比耳，故「除盡」非全序耳。

一為甲之最小。三、七為乙之極小，然乙無最小者也。甲乙皆無極大者。

取甲之子集，其物之公因數乃下界，最大公因數為最大下界。

取甲之二物，最大公因數為最大下界，最小公倍數為最小上界，故甲乃格也。取乙之二、三，並無最大下界^[一]，故乙非格也。

不論甲乙，凡子集有下界者，其最大公因數亦存，故有最大下界。故甲乙皆完備也。

觀分數集，以「不大于」為偏序。凡二物必可比，故此乃全序耳。立方大于二者，成一子集，有下界零，然無最大下界^[二]，是以分數集非完備耳。

觀實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。然無最小者，故非良序。

觀正實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。立方大于二者，成一子集，二開立方為最大下界，然非子集之物也，故子集無最小者也，是以正實數集非良序。

觀自然數集，以「不大于」為偏序，良序耳。

觀自然數集，以「不小于」為偏序。故三不大於二，五不大於三^[三]，故自然數無最小者也。故非良序耳。