數學的故鄉

1    幾何的發源地1
1.1    幾何的發源地  1
1.2    本章心得    5

2    古希臘的幾何6
2.1     畢達格拉斯年代 6
2.2    黃金年代14
2.3     柏拉圖年代17
2.4     亞歷山大年代24
2.5    衰敗年代33
2.6    本章心得44

3    解析幾何49
3.1     費馬50
3.2     笛卡爾52
3.3    解析幾何的重要性57
3.4    本章心得58

4    射影幾何61
4.1     笛沙格62
4.2     巴斯卡與拉海爾63
4.3    十九世紀的射影幾何66
4.4    本章心得66

5    非歐幾何69
5.1    非歐幾何的演進70
5.2    非歐幾何的誕生71
5.3     高斯73
5.4    本章心得77

6    微分幾何79
6.1    古典的微分幾何80
6.2     高斯與微分幾何82
6.3     黎曼與微分幾何84
6.4     嘉當、楊振寧、陳省身和丘成桐88
6.5    微分幾何應用大師愛因斯坦91
6.6    本章心得95

7    幾何基礎100
7.1    歐氏幾何的缺陷100
7.2    幾何的統一101
7.3    歐氏幾何的公理化102
7.4     德國希爾伯特104
7.5     法國龐加萊105
7.6    古今大問題108
7.7    本章心得112

8    命數法115
8.1     巴比倫命數法121
8.2     埃及命數法122
8.3     希臘命數法126
8.4     羅馬命數法127
8.5     馬雅命數法128
8.6     中國命數法129
8.7     印度-阿拉伯命數法131
8.8    本章心得132

9    計算法134
9.1    為什麼要計算134
9.2    算盤135
9.3    手指算法與算籌138
9.4    乘法、除法與分數140
9.5    運算符號與消 9 驗算法145
9.6     納皮爾尺桿147
9.7     巴斯卡數輪機與萊佈尼茲數輪機147
9.8    差異計算機148
9.9    電子製表機與哈佛馬克 I 150
9.10  圖靈機、ENIAC 和 IAS 152
9.11  本章心得156

10 數論158
10.1  畢氏三元數158
10.2  圖形數162
10.3  友誼數、完全數、虧數和盈數166
10.4  梅森數170
10.5  質數與合成數170
10.6  歐幾里得輾轉相除法174
10.7  斐波那契數列77
10.8  費馬大定理與費馬小定理178
10.9  歐幾里得巨著「幾何原本」之數論181
10.10同餘式182
10.11魔方陣187
10.12代數數與超越數190
10.13解析數論193
10.14本章心得193

11 代數學195
11.1  代數200
11.2  二項式定理202
11.3  方程式論204
11.4  四元體211
11.5  行列式與矩陣213
11.6  布爾代數217
11.7  虛數 √−1 的故事220
11.8  從西元 500 年到西元 1600 年的歐洲代數222
11.9  本章心得224

12 抽象代數226
12.1  群論227
12.2  環與其理想230
12.3  體論235
12.4  本章心得243

13 微積分244
13.1  微積分的問題244
13.2  通世數學家牛頓與大數學家萊佈尼茲250
13.3  數學大師歐拉258
13.4  函數的概念260
13.5  積分技巧262
13.6  橢圓積分264
13.7  Γ− 函數265
13.8  本章心得267

14 無窮級數269
14.1  函數的級數展開269
14.2  無窮級數的篳路藍縷，以啟山林273
14.3  三角級數與傅立葉級數278
14.4  本章心得283

15 微分方程285
15.1  一階微分方程285
15.2  奇異解293
15.3  二階微分方程294
15.4  數學家拉格朗日和拉普拉斯301
15.5  本章心得305

16 偏微分方程306
16.1  重要定律與定理306
16.2  一階偏微分方程310
16.3  波方程312
16.4  擴散方程320
16.5  位勢論324
16.6  本章心得332

17 變分法333
17.1  函數空間與重要不等式333
17.2  歐拉−拉格朗日方程339
17.3  最速降線問題341
17.4  測地線問題343
17.5  等周長問題344
17.6  最小旋轉面問題345
17.7  費馬光曲線347
17.8  狄利克雷原則348
17.9  本章心得351

18 複變數函數論354
18.1  複數平面354
18.2  複數的幾何表法355
18.3  柯西−黎曼方程357
18.4  ln z 為多值函數359
18.5  可微函數與解析函數361
18.6  留數366
18.7  本章心得367

19 逐漸嚴格的分析369
19.1  函數的極限與連續369
19.2  函數的導來數373
19.3  黎曼積分375
19.4  無窮級數的收斂和發散380
19.5  本章心得383

20 實變數函數論384
20.1  n 維歐式空間384
20.2  黎曼−斯蒂爾吉斯積分386
20.3  容度與波萊爾測度387
20.4  勒貝格的生平388
20.5  勒貝格積分389
20.6  李特爾伍德三原則395
20.7  黎曼積分與勒貝格積分395
20.8  黎曼−斯蒂爾吉斯積分與勒貝格積分399
20.9  本章心得401
 

作者序

　　瞭解數學的過去和現在，可做為數學將來的預見。近代數學發展神速又很 抽象，想了解其生長的形態和變化的方向，較有效的方法是研究數學的發 展史。

　　一般數學書，內容形式化: 定義、定理、證明、例子交叉出現，念起來沒 有重點，不易人窺其全貌，甚而導致讀者迷惑沮喪。今日數學分成許許多 多專門領域，每一個領域都能耗去我們短暫的一生。數學史介紹數學中心 思想：數學家們如何犯錯或者沮喪，數學家們如何前仆後繼，以建立起種 種數學概念。念數學史可以融會貫通各領域。數學史包羅萬象，例如歐拉 專集有 70 冊，柯西專集有 26 冊和高斯專集有 12 冊等等。

　　幾何學發展史，縱論幾何的起源、發展、全盛和革新。不管是因為求知的 天賦或是生活的需要，人類生俱有形狀和多少的概念。形狀和多少的概念 孕育著數學。古 希臘時期西元前 600 年至西元 300 年，地不大人不多，但 是英雄紛起，豪傑遍地，數學優於其他一切。生產是奴隸的事情，所有的 智識份子，一流高手，都來做數學。數學出盡了風頭，真所謂天下英雄儘 在此。幾何經原始人類孕育的形狀概念，經希臘的壯大，一直到 20 世紀 的枝盛葉茂，真是光芒萬丈，五彩繽紛。

　　另一方面多少的概念，孕育著代數，不像幾何凝集一處，代數是隨風飄 散，散落於世界各個角落；如中國、印度、巴比倫、希臘和埃及等地。就 像春天的紫羅蘭到處開放。各處的人們雖然海天相隔，卻似心有靈犀一 點通，殊途同歸。代數真是欣欣向榮。到了 17 世紀，形狀和多少的概念， 經笛卡兒融會貫通，在平面上劃了兩條垂直線，創造了解析幾何。從此代 數和幾何（即多少和形狀）互通有無，相映成輝。

　　解析幾何引進函數概念。事實上，形狀和多少概念是經過許多人，經過許 多百年的努力，得到許多概念。然後出來一個人，將前人努力的成果，融 會貫通，過濾出有價值的概念，依此創新，形成一偉大的局面，造成巨大 的衝擊，得一威力無窮的新天地：微積分。這個人就是牛頓。微積分為分 析開路，接著微分方程、複變數函數論、微分幾何、實變數函數論和富氏 分析等一一降臨人間。

　　本書數學的故鄉：1 − 7 章是幾何學的故鄉，8 − 12 章是代數學的故鄉，13 − 20 章是分析學的故鄉，第 21 章是國際數學聯合會與國際數學家會議，第 22 章是數學的力與美。最後我們附有參考資料和中英文索引。

　　本書的特色：

　　1. 本書選取具有代表性和啟發性題材，以記事式編寫，分幾何學的故 鄉，代數學的故鄉和分析學的故鄉三部分。一般數學史是記元的： 記錄某年代內所發生的幾何、代數、和分析等數學活動，我們會被 這些不同的領域，糾纏不清，不能有宏觀。

　　2.  本書數學家名詞中譯與 Google 同步。

　　3. 本書數學名詞中譯，由台灣、中國和日本等地中譯中取較適合者。

　　4. 數學核心課程：微積分、高等微積分、實變數函數論、微分方程、 代數和微分幾何等，本書為最佳輔助教材。尤其由微積分概念，進 入數學蛋黃區的「實變數函數論」概念，積分概念大突破，參見 第 20 章：在有界區間 [a, b] 的點放上各種不同幣值 f (x) 的銅幣：

　　(a) 黎曼將 [a, b] 分割成 n 個小區間 Ii = [xi−1, xi]， 再將每一小區 間 Ii 上幣值加起來，再將所有小區間 Ii 上幣值加起來。
　　(b) 勒貝格設對每一 x ∈ [a, b]，有 f (x) ≤ N ，將 y 軸上區間 [0, N ] 分割成 m 個小區間 Ji = [yi−1, yi]，再將每一幣值在小區間 Ji 上幣 值加起來，再將所有幣值在小區間 Ji 上幣值加起來。
　　勒貝格積分是 黎曼積分的推廣。黎曼積分是普遍的和廣大的，應用 甚廣。勒貝格積分是深刻的和華麗的，勒貝格積分念百遍不算多， 是物理和工程上重要工具。念過或沒念過實變數函數論的讀者建議 要念本書第 20 章。

　　5.  本書含目錄和中英文索引，中文索引按 ㄅ、ㄆ、ㄇ、• • • 列排。
　　本書數學的故鄉是國立清華大學中學教師暑期進修班數學組開課講義改寫 而成，且曾在國內中學和大學數十處演講過。除了當一般數學讀物，老少 皆宜外，國內有許多大學數學系當數學發展史課程教材。

　　本書之能完成，我要感謝：清華大學數學系 1977 級同學 沈明喜，明喜幫 我對整本書做完整的修訂；長庚大學黃朝錦教授，朝錦教我使用 Sage 軟 體，用來做本書的計算與畫圖；陸軍官校管理科學系蔣志祥教授、中山 大學應用數學系 王秀英電腦助理和台灣大學數學系 王偉仲教授教我使用 CJKLatex 軟體，來編輯本書；中央研究院數學研究所 林玉端研究助技師 教我使用 xeLatex 軟體，來編輯本書；靜宜大學郭敏教授、新竹教育大學陳啟銘教授、台中教育大學張范水旺教授和高雄師範大學張宏志教授給本 書許多改進的建議。