Число одинарной точности

Число́ одина́рной то́чности (англ. single precision, single) — широко распространенный компьютерный формат представления вещественных чисел, занимающий в памяти 32 бита (4 байта). Как правило, под ним понимают формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754.

Числа одинарной точности с плавающей запятой эквивалентны по точности числу с 7-8 значащими десятичными цифрами (в среднем 7,6) в диапазоне от $10^{-38}$ до примерно $10^{38}$.

В современных компьютерах вычисления с числами с плавающей запятой поддерживаются аппаратным сопроцессором (FPU — англ. floating point unit). Однако в ряде вычислительных архитектур нет аппаратной поддержки чисел с плавающей запятой, и тогда работа с ними осуществляется программно.

Знак
	Порядок								Мантисса
0	0	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	= 0,15625
31				24				23				16				15				8				7				0

Для вычисления показателя степени из восьмиразрядного поля порядка вычитается смещение порядка, равное 127₁₀ = 7F₁₆ = 01111111₂ (то есть, 01111100₂ — 01111111₂ = 124₁₀ — 127₁₀ = −3₁₀). Так как в нормализованной двоичной мантиссе целая часть всегда равна единице, то в поле мантиссы записывается только её дробная часть, то есть фактический размер мантиссы числа с одинарной точностью составляет 24 бита. Для вычисления мантиссы к единице добавляется дробная часть мантиссы из 23-разрядного поля дробной части мантиссы 1,01000000000000000000000₂. Число равно произведению мантиссы со знаком на двойку в степени порядка = 1,01₂*2₁₀^−3₁₀ = 101₂*2₁₀^−5₁₀ = 5₁₀*2₁₀^−5₁₀ = 0,15625₁₀.

Общий шаблон для побитового доступа

union {
    float    fl;
    uint32_t dw;
} f;
int s = ( f.dw >> 31 ) ? -1 : 1;   /* Знак */
int e = ( f.dw >> 23 ) & 0xFF;     /* Порядок */
int m =                            /* Мантисса */
  e ?
    ( f.dw & 0x7FFFFF ) | 0x800000 :
    ( f.dw & 0x7FFFFF ) << 1;

Результирующая формула расчёта (число одинарной точности) будет s * (m * 2 ^ -23) * (2 ^(e-127)).

Примеры использования

Python

Конвертирует целочисленное представление числа с одинарной точностью (в виде четырёх байт, младшие в начале) во встроенный тип действительных чисел Python’а.

def dw2float(dw_array):
    assert (len(dw_array) == 4)
    dw = int.from_bytes(dw_array, byteorder='little',signed=False)
    s = -1 if (dw >> 31) == 1 \
        else 1                                    # Знак
    e = ( dw >> 23 ) & 0xFF;                      # Порядок
    m = ((dw & 0x7FFFFF ) | 0x800000) if e != 0 \
        else ((dw & 0x7FFFFF ) << 1)              # Мантисса
    m1 = m*(2**(-23))                             # Мантисса в float
    return s*m1*(2**(e-127))

0.15625₁₀ в формате float записывается как 3E200000₁₆, что эквивалентно четырём байтам: [0x00,0x00,0x20,0x3E]. Вывод программы:

 
In[1]: dw2float([0x00,0x00,0x20,0x3E])
Out[1]: 0.15625
In[2]: dw2float([0x00,0x00,0x20,0xBE])
Out[2]: -0.15625

Примеры чисел одинарной точности

Эти примеры представлены в шестнадцатеричном виде чисел с плавающей запятой. Они включают знаковый бит, порядок и мантиссу.

3f80 0000 = 1
c000 0000 = −2

7f7f ffff ≈ 3.40282346639 × 1038  (максимальное одинарной точности)
0000 0001 = 2−149 ≈ 1.40129846432 × 10−45 (Минимальное положительное число одинарной точности — денормализованное)
0080 0000 = 2−126 ≈ 1.17549435082 × 10−38 (Минимальное нормализованное положительное число одинарной точности)

0000 0000 = 0
8000 0000 = −0

7f80 0000 = infinity
ff80 0000 = −infinity
				
3eaa aaab ≈ 1/3

Обычно при переводе числовых констант в формат float делается округление. Например, число 1/3 округляется вверх.

См. также

• Числа с плавающей запятой
• Число половинной точности
• Число двойной точности
• Число четверной точности
• Число восьмерной точности
• Формат bfloat16 (альтернативный 16-битный формат, имеет низкую точность, но легко преобразуется из чисел одинарной точности)

Ссылки

• Онлайн IEEE754 калькулятор
• Онлайн преобразователь для IEEE 754 чисел с одинарной точностью
• Habrahabr. Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой