Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

Отношение эквивалентности ($\sim$) на множестве $X$ — это бинарное отношение, для которого при любых $a,b,c$ из $X$ выполнены следующие условия:

1. рефлексивность: $a\sim a$;
2. симметричность: если $a\sim b$, то $b\sim a$;
3. транзитивность: если $a\sim b$ и $b\sim c$, то $a\sim c$.

Запись вида «$a\sim b$» читается как «$a$ эквивалентно $b$».

Связанные определения

Классом эквивалентности $[a]\subset X$ элемента $a\in X$ называется подмножество элементов, эквивалентных $a$; то есть,

$[a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}$.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если $b\in [a]$, то $[a]=[b]$.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества $X$ по заданному отношению $\sim$, обозначается $X/{\sim }$.

Для класса эквивалентности элемента $a$ используются следующие обозначения: $[a]$, $a/{\sim }$, ${\overline {a}}$.

Множество классов эквивалентности по отношению $\sim$ является разбиением множества.

Примеры

• Равенство («$=$»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
• В евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («$\cong$»).
  • Отношение подобия («$\sim$»).
  • Отношение параллельности прямых («$\|$») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция $f(x)$ эквивалентна функции $g(x)$ при $x\rightarrow x_{0}$, если она допускает представление вида $f(x)=\alpha (x)g(x)$, где $\alpha (x)\rightarrow 1$ при $x\rightarrow x_{0}$. В этом случае пишут $f(x)\sim g(x)$, напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при $x\rightarrow x_{0}$. Если $g(x)\neq 0$ при $x\neq x_{0}$, эквивалентность функций $f(x)$ и $g(x)$ при $x\rightarrow x_{0}$, очевидно, равносильна соотношению $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$.

• Эквивалентность норм на векторном пространстве.
• Отношение равномощности множеств.
• Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
• Эквивалентность категорий.
• Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
• Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности $\sim$, обозначается символом $X/{\sim }$ и называется фактормножеством относительно $\sim$. При этом сюръективное отображение

$p\colon x\mapsto [x]$

называется естественным отображением (или канонической проекцией) $X$ на фактормножество $X/{\sim }$.

Пусть $X$ и $Y$ — множества, $f\colon X\to Y$ — отображение, тогда бинарное отношение $x\sim y$, определённое правилом

$x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X$,

является отношением эквивалентности на $X$. При этом отображение $f$ индуцирует отображение ${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$, определяемое правилом

${\overline {f}}([x])=f(x)$

или, что то же самое,

$({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)$.

При этом получается факторизация отображения $f$ на сюръективное отображение $p$ и инъективное отображение ${\overline {f}}$.

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства.

Литература

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.